工科数学分析笔记-集合与实数集

用 \(LaTex\) 写篇笔记，熟悉一下语法。

第1章 集合与函数

1.1 集合与实数集

1.1.1 集合及其运算

1. 乘积集合:
   \[设 A,B 为给定的集合,称一切有序对构成的集合 \{ \left(x,y\right) \mid x \in A , y \in B \} 为 A 与 B 的笛卡儿乘积,记作 A\times B .即: \\ A \times B = \left\{ \left(x,y\right) \mid x\in A , y\in B\right\} \]

2. 推而广之,若有 \(n\) 个集合,则可以作成一个\(n\)元有序组.比如:
   \[ R^n = R \times R \times \cdots \times R = \left\{ \left(x_1,x_2, \cdots ,x_n \right) \mid x_1\in R , x_2\in R, \cdots ,x_n\in R \right\}\]

1.1.2 实数的性质

一些常用的不等式: 1. 绝对值不等式 \[ \mid a+b \mid \le \mid a \mid + \mid b \mid , \mid\mid a \mid -\mid b \mid \mid \le \mid a-b \mid\] 2. 伯努利不等式 设 \(x>-1,n\in N\) ,则有: \[ (1+x)^n \ge 1+nx\] 3. 平均值不等式 设 \(x_1,x_2,\cdots ,x_n\) 为 \(n\) 个正实数,则有 \[\sqrt[n]{x_1x_2 \cdots x_n} \le \frac{x_1+x_2+ \cdots x_n}{n}\]

1.1.3 区间与邻域

点\(a\)的\(\delta\)邻域: \(O(a,\delta)\),简记为\(O(a)\)
点\(a\)的空心邻域: \(O_0(a,\delta)\),简记为\(O_0(a)\)
点\(a\)的\(\delta\)右邻域: \(O^+(a,\delta)\),简记为\(O^+(a)\)
点\(a\)的\(\delta\)左邻域: \(O^-(a,\delta)\),简记为\(O^-(a)\)

1.1.4 确界与确界原理

1. 上界与下界
2. 确界: 上(下)确界存在,必唯一.
3. 确界原理: 非空有上(下)界的数集必存在上(下)确界.
4. 定理: \[设A是有上界的非空数集,\beta = \sup A. \]\[ 则\forall \varepsilon>0,\exists x_0 \in A,使得\beta - \varepsilon < x_0 \le \beta. \]
5. 定理: \[若数集A包含了它的一个上界\beta,则\beta=\sup A.\]